3*. Подберите такие значения к и т, при которых система уравнений { x + 3y = 4, kx - 12y = m а) имеет бесконечно много решений; б) не имеет решений; в) имеет единственное решение.

Решение:

Рассмотрим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + 3y = 4 \\ kx - 12y = m \end{cases}\]

а) Имеет бесконечно много решений:

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть пропорциональны.

Умножим первое уравнение на \[-4\]:

\[-4(x + 3y) = -4 \cdot 4\]

\[-4x - 12y = -16\]

Сравним это со вторым уравнением:

\[kx - 12y = m\]

Чтобы уравнения были пропорциональны, должно выполняться:

\[k = -4, \quad m = -16\]

б) Не имеет решений:

Для того чтобы система не имела решений, коэффициенты при x и y должны быть пропорциональны, а свободные члены нет.

То есть, \[k = -4\] (как и в предыдущем случае), но \[m
eq -16\].

в) Имеет единственное решение:

Для того чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при x не должны быть пропорциональны.

То есть, \[k
eq -4\].