2. Выясните, имеет ли система решения и сколько: a) {x + 2y = 8, 11x - 6y = 5; б) {0,3x + 3,5y = 1,5, 6x + 70y = 30.

Решение:

а)

\[\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 11x - 6y = 5 \end{cases}\]

Выразим x через y в первом уравнении:

\[x = 8 - 2y\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[11(8 - 2y) - 6y = 5\]

\[88 - 22y - 6y = 5\]

\[-28y = 5 - 88\]

\[-28y = -83\]

\[y = \frac{-83}{-28} = \frac{83}{28}\]

Теперь найдем x:

\[x = 8 - 2 \cdot \frac{83}{28} = 8 - \frac{83}{14} = \frac{112 - 83}{14} = \frac{29}{14}\]

Система имеет единственное решение.

б)

\[\begin{cases} 0.3x + 3.5y = 1.5 \\ 6x + 70y = 30 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 20:

\[20(0.3x + 3.5y) = 20 \cdot 1.5\]

\[6x + 70y = 30\]

Теперь мы видим, что оба уравнения идентичны:

\[\begin{cases} 6x + 70y = 30 \\ 6x + 70y = 30 \end{cases}\]

Это означает, что система имеет бесконечно много решений, так как уравнения описывают одну и ту же прямую.