1. Решите графически систему линейных уравнений: a) {x + y = 9, 2x + y = 14; б) {5x-2y = 3, 7x + 5y = 12.

Решение:

а)

\[\begin{cases} x + y = 9 \\ 2x + y = 14 \end{cases}\]

Выразим y через x в каждом уравнении:

\[\begin{cases} y = 9 - x \\ y = 14 - 2x \end{cases}\]

Построим графики этих функций. Это прямые линии.

Для первого уравнения (\[y = 9 - x\]) возьмем две точки:

• Если \[x = 4\], то \[y = 9 - 4 = 5\]
• Если \[x = 5\], то \[y = 9 - 5 = 4\]

Для второго уравнения (\[y = 14 - 2x\]) возьмем две точки:

• Если \[x = 6\], то \[y = 14 - 2 \cdot 6 = 2\]
• Если \[x = 7\], то \[y = 14 - 2 \cdot 7 = 0\]

Найдем точку пересечения этих прямых:

\[9 - x = 14 - 2x\]

\[2x - x = 14 - 9\]

\[x = 5\]

Подставим значение x в одно из уравнений, чтобы найти y:

\[y = 9 - 5 = 4\]

Решением системы является точка (5, 4).

б)

\[\begin{cases} 5x - 2y = 3 \\ 7x + 5y = 12 \end{cases}\]

Выразим y через x в каждом уравнении:

\[\begin{cases} 2y = 5x - 3 \\ 5y = 12 - 7x \end{cases}\]

\[\begin{cases} y = \frac{5x - 3}{2} \\ y = \frac{12 - 7x}{5} \end{cases}\]

Построим графики этих функций. Это прямые линии.

Для первого уравнения (\[y = \frac{5x - 3}{2}\]) возьмем две точки:

• Если \[x = 1\] то \[y = \frac{5 \cdot 1 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]
• Если \[x = 3\] то \[y = \frac{5 \cdot 3 - 3}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

Для второго уравнения (\[y = \frac{12 - 7x}{5}\]) возьмем две точки:

• Если \[x = 1\] то \[y = \frac{12 - 7 \cdot 1}{5} = \frac{5}{5} = 1\]
• Если \[x = -3\] то \[y = \frac{12 - 7 \cdot (-3)}{5} = \frac{33}{5} = 6.6\]

Найдем точку пересечения этих прямых:

\[\frac{5x - 3}{2} = \frac{12 - 7x}{5}\]

\[5(5x - 3) = 2(12 - 7x)\]

\[25x - 15 = 24 - 14x\]

\[25x + 14x = 24 + 15\]

\[39x = 39\]

\[x = 1\]

Подставим значение x в одно из уравнений, чтобы найти y:

\[y = \frac{5 \cdot 1 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Решением системы является точка (1, 1).