Подобны ли треугольники АВС и А1В1С1, если известно, что АС =2 см, ВС = 1 см, В1С1 = 3 см, А1С1 = 6 см, ∠C = ∠C₁ = 90° и ∠A = ∠A1.

Для определения подобия треугольников АВС и А₁В₁С₁ необходимо проверить выполнение условий подобия.

Так как ∠C = ∠C₁ = 90° и ∠A = ∠A₁, то ∠B = ∠B₁ (сумма углов треугольника равна 180°). Следовательно, треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Необходимо проверить пропорциональность сторон.

Составим отношение сторон:

• $$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{6}{2} = 3$$
• $$\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{3}{1} = 3$$

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника ABC:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$.

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника A₁B₁C₁:

$$A_1B_1 = \sqrt{A_1C_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$.

Составим отношение сторон:

• $$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3$$

Так как все отношения сторон равны, то стороны пропорциональны. Треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам) и по третьему признаку подобия (по трем сторонам).

Ответ: треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны.