Поезд должен был проехать расстояние между городами за 12 часов с некоторой запланированной скоростью. Однако из-за ремонта путей на первой трети пути скорость пришлось снизить на 50 %. На сколько процентов нужно увеличить скорость на оставшейся части пути, чтобы прибыть в пункт назначения без опоздания?

Пусть первоначальная скорость поезда равна \(v\). Тогда всё расстояние поезд должен был пройти за 12 часов.

1. Первая треть пути при скорости \(0.5v\) будет пройдена за \(\frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 2 = 8\) часов.
2. На оставшиеся две трети пути при первоначальной скорости потребовалось бы \(\frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) часов.
3. После задержки на первую треть пути остаётся \(12 - 8 = 4\) часа.
4. Чтобы пройти оставшиеся две трети пути за 4 часа, скорость должна быть в \(\frac{8}{4}=2\) раза больше первоначальной.
5. Увеличение скорости составляет \((2-1)\cdot 100\% = 100\%\).

Ответ: скорость нужно увеличить на 100 %.