1) Показать, что функция F (x) = e^{2x} + x^3 - cos x является первообразной для функции f (x) = 2e^{2x} + 3x^2 + sin x на всей числовой прямой.

• Находим производную F(x):

\[F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x\] \[F'(x) = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)'\]

Показать пошаговые вычисления

• Производная e^{2x} находится как производная сложной функции:

\[(e^{2x})' = 2e^{2x}\]

• Производная x^3:

\[(x^3)' = 3x^2\]

• Производная cos x:

\[(\cos x)' = -\sin x\]

\[F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x)\] \[F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x\]

• Сравниваем F'(x) с f(x):

\[F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x = f(x)\]