2 Для функции f (x) = 3x² + 2x – 3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; −2).

Для функции $$f(x) = 3x^2 + 2x - 3$$ найдем первообразную, общий вид которой:

• $$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx$$
• $$F(x) = 3\int x^2 dx + 2\int x dx - 3\int dx$$
• $$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$$
• $$F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C$$

Теперь воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку M (1; -2). Подставим координаты точки в уравнение первообразной:

• $$-2 = (1)^3 + (1)^2 - 3(1) + C$$
• $$-2 = 1 + 1 - 3 + C$$
• $$-2 = -1 + C$$
• $$C = -2 + 1$$
• $$C = -1$$

Подставим найденное значение C в уравнение первообразной:

• $$F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$$

Ответ: Первообразная, график которой проходит через точку M (1; -2), имеет вид $$F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$$.