Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой у = х² + x − 6 и осью Ох; 2) графиками функций у = х² + 1 и у = 10.

Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $$y = x^2 + x - 6$$ и осью $$Ox$$.

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью $$Ox$$:

$$x^2 + x - 6 = 0$$

$$D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Теперь найдем площадь фигуры:

$$S = -\int_{-3}^2 (x^2 + x - 6) dx = -\left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x\right)\Big|_{-3}^2 = -\left[\left(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6(2)\right) - \left(\frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6(-3)\right)\right]$$

$$= -\left[\left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) - \left(\frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18\right)\right] = -\left[\left(\frac{8}{3} - 10\right) - \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right)\right] = -\left[\left(\frac{8 - 30}{3}\right) - \left(9 + \frac{9}{2}\right)\right]$$

$$= -\left[\frac{-22}{3} - \frac{18 + 9}{2}\right] = -\left[\frac{-22}{3} - \frac{27}{2}\right] = -\left[\frac{-44 - 81}{6}\right] = -\left[\frac{-125}{6}\right] = \frac{125}{6}$$

$$S = \frac{125}{6} \approx 20.83$$

Ответ: $$\frac{125}{6}$$

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций $$y = x^2 + 1$$ и $$y = 10$$.

Сначала найдем точки пересечения графиков функций:

$$x^2 + 1 = 10$$

$$x^2 = 9$$

$$x = \pm 3$$

Теперь найдем площадь фигуры:

$$S = \int_{-3}^3 (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^3 (9 - x^2) dx = \left(9x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-3}^3 = \left(9(3) - \frac{3^3}{3}\right) - \left(9(-3) - \frac{(-3)^3}{3}\right)$$

$$= \left(27 - \frac{27}{3}\right) - \left(-27 - \frac{-27}{3}\right) = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 18 + 18 = 36$$

Ответ: 36