Полосу бумаги разрезали на 9 частей. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 9 частей. Затем самую большую из полученных частей разрезали на 9 частей. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 9 частей. Могло ли в итоге получиться 997 частей?

Каждый раз разрезание одной части на 9 частей увеличивает общее количество частей на 8: одна исходная часть заменяется девятью.

После первого разрезания стало 9 частей. После каждого следующего разрезания число частей остаётся сравнимым с 1 по модулю 8, так как к нему прибавляется 8.

997 = 8 × 124 + 5, то есть остаток при делении на 8 равен 5, а не 1.

Ответ: нет, 997 частей получить не могло.