22. Постройте график функции \(y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию и построим ее график.

1. Преобразование функции:

   Функция задана выражением:

   $$ y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x} $$

   Заметим, что \(2 - x = -(x - 2)\), поэтому можем упростить выражение:

   $$ y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{-(x-2)} $$

   При \(x
   eq 2\):

   $$ y = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1 $$

   Итак, функция представляет собой параболу \(y = -x^2 - 1\) с выколотой точкой при \(x = 2\).

2. Построение графика:

   Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \((0, -1)\). Выколотая точка находится при \(x = 2\), следовательно, \(y = -2^2 - 1 = -4 - 1 = -5\). Итак, выколотая точка \((2, -5)\).

3. Определение значений \(k\):

   Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат. Найдём значения \(k\), при которых прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

   Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения параболы и прямой:

   $$ kx = -x^2 - 1 $$ $$ x^2 + kx + 1 = 0 $$

   Для того, чтобы уравнение имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

   $$ D = k^2 - 4 \times 1 \times 1 = k^2 - 4 = 0 $$

   Отсюда:

   $$ k^2 = 4 $$ $$ k = \pm 2 $$

   Таким образом, при \(k = 2\) и \(k = -2\) прямая \(y = kx\) касается параболы в одной точке.

   Однако, нужно учесть выколотую точку \((2, -5)\). Если прямая \(y = kx\) проходит через эту точку, то уравнение \(kx = -x^2 - 1\) будет иметь два решения, одно из которых \(x = 2\).

   Найдем \(k\), при котором прямая \(y = kx\) проходит через точку \((2, -5)\):

   $$ -5 = k \times 2 $$ $$ k = -\frac{5}{2} = -2.5 $$

   При \(k = -2.5\) прямая \(y = -2.5x\) проходит через выколотую точку и, следовательно, имеет одну общую точку с графиком функции.

   В итоге, значения \(k\), при которых прямая имеет с графиком ровно одну общую точку, это \(k = 2\), \(k = -2\) и \(k = -2.5\).

Ответ: \(k = 2\), \(k = -2\), \(k = -2.5\)