20. Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} -10 = 0.\)

Решим уравнение методом замены переменной.

1. Исходное уравнение:

   $$ \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} - 10 = 0 $$

2. Замена переменной: Пусть \(t = \frac{1}{x}\). Тогда уравнение примет вид:

   $$ t^2 + 3t - 10 = 0 $$

3. Решение квадратного уравнения: Решим квадратное уравнение относительно \(t\). Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

   $$ D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 9 + 40 = 49 $$

   Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня:

   $$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$

4. Обратная замена: Теперь найдем \(x\), используя обратную замену \(x = \frac{1}{t}\):

   $$ x_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} $$

5. Проверка корней: Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:

   Для \(x_1 = \frac{1}{2}\):

   $$ \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + \frac{3}{\frac{1}{2}} - 10 = \frac{1}{\frac{1}{4}} + 3 \times 2 - 10 = 4 + 6 - 10 = 0 $$

   Для \(x_2 = -\frac{1}{5}\):

   $$ \frac{1}{(-\frac{1}{5})^2} + \frac{3}{-\frac{1}{5}} - 10 = \frac{1}{\frac{1}{25}} + 3 \times (-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0 $$

   Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \(x_1 = \frac{1}{2}\), \(x_2 = -\frac{1}{5}\)