15. Постройте график функции \(y = |x|(x+1) - 6x\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = mx\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрываем модуль:
   Если \(x \ge 0\), то \(y = x(x+1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x\).
   Если \(x < 0\), то \(y = -x(x+1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x\).
2. Шаг 2: Анализируем графики:
   Для \(x \ge 0\) имеем параболу \(y = x^2 - 5x\). Вершина параболы: \(x_v = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\). \(y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25\). Нули функции: \(x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0\). \(x = 0\) и \(x = 5\).
   Для \(x < 0\) имеем параболу \(y = -x^2 - 7x\). Вершина параболы: \(x_v = \frac{-(-7)}{-2} = -\frac{7}{2} = -3.5\). \(y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25\). Нули функции: \(-x^2 - 7x = 0 \Rightarrow -x(x+7) = 0\). \(x = 0\) и \(x = -7\).
3. Шаг 3: Определяем, при каких значениях \(m\) прямая \(y = mx\) пересекает график ровно в двух точках. Это происходит, когда прямая касается одной из парабол или проходит через нули другой параболы (кроме нуля).
4. Шаг 4: Рассмотрим случай касания прямой \(y = mx\) и параболы \(y = x^2 - 5x\) при \(x \ge 0\).
   Условие касания: \(x^2 - 5x = mx\) и \(2x - 5 = m\).
   Подставляем \(m\) из второго уравнения в первое: \(x^2 - 5x = (2x - 5)x\) \(\Rightarrow x^2 - 5x = 2x^2 - 5x\) \(\Rightarrow x^2 = 0\) \(\Rightarrow x = 0\), что соответствует точке (0, 0).
5. Шаг 5: Рассмотрим случай касания прямой \(y = mx\) и параболы \(y = -x^2 - 7x\) при \(x < 0\).
   Условие касания: \(-x^2 - 7x = mx\) и \(-2x - 7 = m\).
   Подставляем \(m\) из второго уравнения в первое: \(-x^2 - 7x = (-2x - 7)x\) \(\Rightarrow -x^2 - 7x = -2x^2 - 7x\) \(\Rightarrow x^2 = 0\) \(\Rightarrow x = 0\), что соответствует точке (0, 0).
6. Шаг 6: Рассматриваем прохождение прямой через ненулевые корни парабол. Парабола \(y = x^2 - 5x\) имеет корень \(x = 5\). В этой точке \(y = 0\), поэтому прямая должна проходить через (5, 0), то есть \(0 = 5m \Rightarrow m = 0\).
   Парабола \(y = -x^2 - 7x\) имеет корень \(x = -7\). В этой точке \(y = 0\), поэтому прямая должна проходить через (-7, 0), то есть \(0 = -7m \Rightarrow m = 0\).
7. Шаг 7: Прямая проходит через вершину параболы \(x<0\): \(y = -x^2 - 7x\) \(x=-3.5\) \(y=12.25\). \(12.25 = m(-3.5)\) \(m = -3.5\).
8. Шаг 8: Итак, прямая пересекает график в двух точках при m = 0, m = -3.5

Ответ: \(m = 0\) или \(m = -3.5\)