16. В правильном тетраэдре \(DABC\), все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от центра грани \(ABC\) до плоскости \(ADC\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим центр грани \(ABC\). Так как тетраэдр правильный, центр грани \(ABC\) является точкой пересечения медиан (или высот, или биссектрис) треугольника \(ABC\).
2. Шаг 2: Обозначим центр грани \(ABC\) как точку \(O\). Расстояние от \(O\) до плоскости \(ADC\) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки \(O\) на плоскость \(ADC\).
3. Шаг 3: Пусть \(H\) — основание высоты, опущенной из вершины \(B\) на плоскость \(ADC\). Тогда \(BH\) — высота тетраэдра. Пусть \(M\) — середина ребра \(AC\). Тогда \(DM\) и \(BM\) — медианы треугольников \(ADC\) и \(ABC\) соответственно, и \(DM = BM = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).
4. Шаг 4: Высота \(BH\) находится из прямоугольного треугольника \(BMH\), где \(MH = \frac{1}{3}DM = \frac{2\sqrt{3}}{3}\). Тогда \(BH = \sqrt{BM^2 - MH^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{12 - \frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{108 - 12}{9}} = \sqrt{\frac{96}{9}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\).
5. Шаг 5: Обозначим расстояние от точки \(O\) до плоскости \(ADC\) как \(x\). Тогда, по теореме о пропорциональных отрезках, \(\frac{x}{BH} = \frac{AO}{AM} = \frac{1}{3}\), так как \(O\) делит медиану \(AM\) в отношении 2:1.
6. Шаг 6: Находим \(x = \frac{1}{3}BH = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{9}\).

Ответ: \(\frac{4\sqrt{6}}{9}\)