22. Постройте график функции \( y = \begin{cases} -3x - 17, & x < -5 \\ 0.5x + 5, & -5 \le x \le 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{cases} \) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение: 1. Рассмотрим функцию по частям: * При \(x < -5\), \(y = -3x - 17\). Это линейная функция. Если \(x = -5\), то \(y = -3(-5) - 17 = 15 - 17 = -2\). Так как \(x < -5\), то точка \((-5, -2)\) не принадлежит графику, но является граничной точкой. * При \(-5 \le x \le 0\), \(y = 0.5x + 5\). Это тоже линейная функция. Если \(x = -5\), то \(y = 0.5(-5) + 5 = -2.5 + 5 = 2.5\). Если \(x = 0\), то \(y = 0.5(0) + 5 = 5\). Таким образом, отрезок соединяет точки \((-5, 2.5)\) и \((0, 5)\). * При \(x > 0\), \(y = 5 - x\). Это линейная функция. Если \(x = 0\), то \(y = 5 - 0 = 5\). Так как \(x > 0\), то точка \((0, 5)\) не принадлежит графику, но является граничной точкой. 2. Найдем значения \(m\), при которых прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки. * Прямая \(y = m\) должна пересекать как минимум две части графика. В данном случае, это может быть, когда прямая проходит через граничную точку между двумя частями графика. * Первая граничная точка - \((-5, -2)\). Однако, эта точка не принадлежит графику, так как \(x < -5\). Значит, \(m\) не может быть равно \(-2\). * Вторая граничная точка - \((-5, 2.5)\). Эта точка принадлежит графику. Если \(m = 2.5\), прямая \(y = 2.5\) пересекает вторую часть графика в точке \((-5, 2.5)\) и первую часть графика в точке, где \(-3x - 17 = 2.5\). То есть \(-3x = 19.5\), \(x = -6.5\). Таким образом, прямая \(y = 2.5\) имеет две общие точки с графиком. * Третья граничная точка - \((0, 5)\). Эта точка также принадлежит графику, но не принадлежит третьей части графика, так как \(x > 0\). Прямая \(y = 5\) будет пересекать график в точке \((0,5)\). Нам необходимо проверить, пересекает ли она еще какие-либо части графика. Она пересекает отрезок при \(-5 \le x \le 0\) в точке \((0,5)\). Она также пересекает первую часть графика, когда \(-3x - 17 = 5\), то есть \(-3x = 22\), \(x = -\frac{22}{3} \approx -7.33\). Таким образом, прямая \(y = 5\) имеет две общие точки с графиком. 3. Определим другие значения \(m\). * Рассмотрим случай, когда \(m > 5\). В этом случае прямая \(y = m\) не пересекает ни одну из частей графика. * Рассмотрим случай, когда \(2.5 < m < 5\). В этом случае прямая \(y = m\) пересекает вторую и третью часть графика, то есть имеет две общие точки. 4. Итоговые значения \(m\). * \(m = 2.5\) * \(m = 5\) * \(2.5 < m < 5\) Ответ: \(m = 2.5\), \(m = 5\) или \(2.5 < m < 5\). **Развернутый ответ:** Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала понять, как выглядит график заданной кусочной функции. Мы рассматриваем каждую часть функции отдельно и определяем, какие значения она принимает на заданном интервале. Затем мы анализируем, как прямая \(y = m\) может пересекать этот график. Прямая \(y = m\) — это горизонтальная линия, и мы ищем такие значения \(m\), при которых эта линия пересекает график ровно в двух точках. Мы обращаем внимание на граничные точки между разными частями функции, так как именно в этих точках поведение графика может меняться, и прямая \(y = m\) может пересекать график в нужном нам количестве точек. Проверяем несколько случаев и находим, что это происходит при \(m = 2.5\), \(m = 5\), а также при всех значениях \(m\) между 2.5 и 5, не включая граничные значения.