Постройте график функции y = (x+2)(x²-4x+3) / x-1 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим функцию:

$$y = \frac{(x+2)(x^2-4x+3)}{x-1}$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$$

Тогда:

$$y = \frac{(x+2)(x-1)(x-3)}{x-1}$$

Сократим дробь (с учетом ОДЗ: $$x
eq 1$$):

$$y = (x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$$

Это парабола с вершиной в точке:

$$x_в = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$$

$$y_в = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$$

Итак, вершина параболы в точке $$(0.5; -6.25)$$.

Так как $$x
eq 1$$, то нужно исключить точку $$x=1$$ из графика. Найдем соответствующее значение $$y$$:

$$y(1) = (1+2)(1-3) = 3 \cdot (-2) = -6$$

То есть, на графике будет выколота точка $$(1; -6)$$.

Прямая $$y=m$$ – это горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через выколотую точку.

То есть, $$m = -6.25$$ или $$m = -6$$.

Ответ: $$m = -6.25$$ или $$m = -6$$.