Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Е и F соответственно. Известно, что АВ = 20, BC = 12, AC = 25, AE=14, CF=2. Найдите длину отрезка EF.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Менелая.

Пусть прямая EF пересекает сторону AC в точке D. Тогда по теореме Менелая:

$$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

Из условия известно:

$$AB = 20, BC = 12, AC = 25, AE = 14, CF = 2$$

Тогда:

$$EB = AB - AE = 20 - 14 = 6$$

$$BF = BC - CF = 12 - 2 = 10$$

Подставим известные значения в теорему Менелая:

$$\frac{14}{6} \cdot \frac{10}{2} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

$$\frac{14 \cdot 10}{6 \cdot 2} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

$$\frac{140}{12} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

$$\frac{CD}{DA} = \frac{12}{140} = \frac{3}{35}$$

Пусть $$CD = 3x$$, тогда $$DA = 35x$$. Значит, $$AC = CD + DA = 3x + 35x = 38x$$.

$$38x = 25$$

$$x = \frac{25}{38}$$

Тогда $$CD = 3x = 3 \cdot \frac{25}{38} = \frac{75}{38}$$.

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для треугольников ABC и EBF:

$$EF^2 = BE^2 + BF^2 - 2 \cdot BE \cdot BF \cdot \cos B$$

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$

$$25^2 = 20^2 + 12^2 - 2 \cdot 20 \cdot 12 \cdot \cos B$$

$$625 = 400 + 144 - 480 \cdot \cos B$$

$$625 = 544 - 480 \cdot \cos B$$

$$480 \cdot \cos B = 544 - 625 = -81$$

$$\cos B = -\frac{81}{480} = -\frac{27}{160}$$

Теперь найдем EF:

$$EF^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-\frac{27}{160})$$

$$EF^2 = 36 + 100 + \frac{360 \cdot 27}{160} = 136 + \frac{9 \cdot 27}{4} = 136 + \frac{243}{4} = \frac{544 + 243}{4} = \frac{787}{4}$$

$$EF = \sqrt{\frac{787}{4}} = \frac{\sqrt{787}}{2} \approx 14.02$$

Ответ: $$EF = \frac{\sqrt{787}}{2} \approx 14.02$$