Постройте график функции f(x) = sin3x, укажите её промежутки возрастания и убывания.

Ответ: График построен ниже. Функция возрастает на интервалах: \(\left[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right]\), убывает на интервалах: \(\left[\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right]\), где k - целое число.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Определим период функции.

Функция имеет вид \( f(x) = \sin(3x) \). Период основной функции \( \sin(x) \) равен \( 2\pi \). Для функции \( \sin(kx) \) период равен \( \frac{2\pi}{|k|} \). В данном случае, период равен \( \frac{2\pi}{3} \).

Шаг 2: Найдем промежутки возрастания и убывания.

Функция \( \sin(3x) \) возрастает, когда её производная положительна. Найдем производную:

\[ f'(x) = 3\cos(3x) \]

Производная положительна, когда \( \cos(3x) > 0 \). Решим это неравенство:

\[ 3x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \]

\[ x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right) \]

Функция убывает, когда производная отрицательна:

\[ 3x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) \]

\[ x \in \left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}\right) \]

Шаг 3: Построим график функции.

Функция возрастает на интервалах: \(\left[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right]\), убывает на интервалах: \(\left[\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right]\), где k - целое число.

Ответ: График построен ниже. Функция возрастает на интервалах: \(\left[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right]\), убывает на интервалах: \(\left[\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right]\), где k - целое число.