10. Постройте график функции и определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно две общие точки. у - {6х -х², если х> - 1, -х - 8, если х< -1

Решение:

Рассмотрим функцию:

\( y = \begin{cases} 6x - x^2, & \text{если } x > -1, \\ -x - 8, & \text{если } x < -1 \end{cases} \)

1. Для \(x > -1\): \(y = 6x - x^2\) – парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы:

\(x_в = -b / (2a) = -6 / (2 * (-1)) = 3\)

\(y_в = 6 * 3 - 3^2 = 18 - 9 = 9\)

Вершина параболы в точке (3, 9).

При x = -1: y = 6 * (-1) - (-1)² = -6 - 1 = -7. Точка (-1, -7) не включена.

2. Для \(x < -1\): \(y = -x - 8\) – прямая с угловым коэффициентом -1.

При x = -1: y = -(-1) - 8 = 1 - 8 = -7. Точка (-1, -7) не включена.

Чтобы прямая y = m имела с графиком ровно две общие точки, она должна проходить либо через вершину параболы (y = 9), либо через точку (-1, -7) (но эта точка исключена, поэтому случай y = -7 не подходит), либо быть касательной к параболе (чего не происходит).

Если y = -7, то прямая пересекает параболу в одной точке (-1, -7), а прямую в точке (-1, -7). Это одна общая точка.

Прямая y = m будет иметь две общие точки с графиком функции, если m = 9 или если m находится между -7 (исключая) и значением y на прямой, когда x стремится к -∞, то есть такого значения m нет.

Ответ: m = 9