Постройте график функции у = \frac{4|x|-3}{3|x|-4x^2} и определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: k = -4/3, k = 0

Решение:

Рассмотрим функцию y = \(\frac{4|x|-3}{3|x|-4x^2}\) для двух случаев:

1) x > 0: |x| = x, тогда y = \(\frac{4x-3}{3x-4x^2} = \frac{4x-3}{x(3-4x)}\).

2) x < 0: |x| = -x, тогда y = \(\frac{-4x-3}{-3x-4x^2} = \frac{-(4x+3)}{-x(3+4x)} = \frac{4x+3}{x(3+4x)}\).

Определим точки разрыва функции:

Для x > 0: x ≠ 0 и 3 - 4x ≠ 0 ⇒ x ≠ 3/4.

Для x < 0: x ≠ 0 и 3 + 4x ≠ 0 ⇒ x ≠ -3/4.

Таким образом, точки разрыва: x = -3/4 и x = 3/4.

Исследуем поведение функции вблизи точек разрыва и на бесконечности.

Рассмотрим прямую y = kx. Чтобы прямая не имела общих точек с графиком, она должна проходить через точки разрыва или быть асимптотой.

Для x > 0, если x → ∞, то y → 0. Таким образом, y = 0 (k = 0) является горизонтальной асимптотой.

Рассмотрим случай, когда прямая y = kx проходит через точку разрыва x = 3/4:

y = \(\frac{4(3/4)-3}{(3/4)(3-4(3/4))}\) = \(\frac{0}{0}\) (неопределенность). Значит нужно упростить выражение y = \(\frac{4x-3}{x(3-4x)}\).

Если x -> 0, то y -> -\(\infty\)

Для x < 0, если x → -\(\infty\), то y → 0. Таким образом, y = 0 (k = 0) является горизонтальной асимптотой.

Рассмотрим случай, когда прямая y = kx проходит через точку разрыва x = -3/4:

y = \(\frac{4(-3/4)+3}{(-3/4)(3+4(-3/4))}\) = \(\frac{0}{0}\) (неопределенность). Значит нужно упростить выражение y = \(\frac{4x+3}{x(3+4x)}\).

Если x -> 0, то y -> \(\infty\)

Найдем k при котором прямая y = kx является касательной к графику функции. Заметим, что y = \(\frac{4x-3}{x(3-4x)} = \frac{4x-3}{3x-4x^2}\). Производная данной функции равна

y' = \(\frac{4(3x-4x^2)-(4x-3)(3-8x)}{(3x-4x^2)^2} = \frac{12x - 16x^2 - (12x - 32x^2 - 9 + 24x)}{(3x-4x^2)^2} = \frac{16x^2 -12x + 9}{(3x-4x^2)^2}\)

Производная при x = 3/4 не существует.

k = y/x = \(\frac{4x-3}{3x^2 - 4x^3}\)

При x = -3/4: y = \(\frac{4(-3/4)+3}{(-3/4)(3+4(-3/4))}\) = \(\frac{-3+3}{(-3/4)(3-3)}\) = \(\frac{0}{0}\) (неопределенность)

Для x < 0 y = \(\frac{4x+3}{3x+4x^2}\).

y' = \(\frac{4(3x+4x^2) - (4x+3)(3+8x)}{(3x+4x^2)^2} = \frac{12x + 16x^2 - (12x + 32x^2 + 9 + 24x)}{(3x+4x^2)^2} = \frac{-16x^2 -36x - 9 }{(3x+4x^2)^2}\)

Не имеет решений

При k = -4/3, y = -4x/3

Прямая y = kx не имеет общих точек с графиком, если k = -4/3, k = 0.

Ответ: k = -4/3, k = 0