6. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

Пусть ромб ABCD, O - точка пересечения диагоналей, OH - расстояние от точки O до стороны AD (OH = 10). AC = 40, следовательно AO = 20 (диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам).
Рассмотрим треугольник AOH - прямоугольный. \(\sin\)(∠OAH) = \(\frac{OH}{AO}\) = \(\frac{10}{20}\) = \(\frac{1}{2}\). Следовательно, ∠OAH = 30°. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то ∠BAD = 2 \(\cdot\) 30° = 60°. Противоположные углы ромба равны, значит ∠BCD = 60°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°, следовательно ∠ABC = ∠ADC = 180° - 60° = 120°.

Ответ: 60 120