6. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

Пусть ромб ABCD, O - точка пересечения диагоналей, OH - расстояние от точки O до стороны AD (OH = 10). AC = 40, следовательно AO = 20 (диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам). Рассмотрим треугольник AOH - прямоугольный. \sin(∠OAH) = \frac{OH}{AO} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}. Следовательно, ∠OAH = 30°. Так как диагональ ромба является биссектрисой его угла, то ∠BAD = 2 \cdot 30° = 60°. Противоположные углы ромба равны, значит ∠BCD = 60°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°, следовательно ∠ABC = ∠ADC = 180° - 60° = 120°. Ответ: 60 120