22. Постройте график функции у = \frac{(x²-3x+2)(x² - 7x +12)}{(x²-6x+8)} и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Давай построим график функции и определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Сначала упростим функцию:

\[y = \frac{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12)}{x^2 - 6x + 8}\]

Разложим квадратные трехчлены на множители:

\[x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\]

\[x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\]

\[x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)\]

Тогда функция примет вид:

\[y = \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x - 2)(x - 4)}\]

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (учтем, что \( x
eq 2 \) и \( x
eq 4 \)):

\[y = (x - 1)(x - 3), \quad x
eq 2, \quad x
eq 4\]

Раскроем скобки:

\[y = x^2 - 4x + 3, \quad x
eq 2, \quad x
eq 4\]

Это парабола с вершиной в точке \( x_в = \frac{-(-4)}{2} = 2 \). Но так как \( x
eq 2 \) и \( x
eq 4 \), у нас будут "выколотые" точки.

Найдем значение \( y \) в вершине параболы:

\[y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\]

Таким образом, вершина параболы \( (2, -1) \) - это выколотая точка.

Найдем значение \( y \) при \( x = 4 \):

\[y(4) = (4 - 1)(4 - 3) = 3 \cdot 1 = 3\]

Итак, у нас есть парабола \( y = x^2 - 4x + 3 \) с двумя выколотыми точками: \( (2, -1) \) и \( (4, 3) \).

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку, когда она проходит:

• Через вершину параболы (но она выколота, поэтому не подходит).
• Через выколотую точку \( (4, 3) \), то есть \( m = 3 \).
• Касательно к параболе, но выше выколотой точки.

Значение \( m = -1 \) соответствует вершине параболы, но так как это выколотая точка, нам нужно найти такое \( m \), чтобы прямая \( y = m \) касалась параболы в другой точке.

Прямая \( y = m \) касается параболы, когда дискриминант уравнения \( x^2 - 4x + 3 = m \) равен нулю:

\[x^2 - 4x + (3 - m) = 0\]

\[D = (-4)^2 - 4(3 - m) = 16 - 12 + 4m = 4 + 4m\]

\[4 + 4m = 0\]

\[4m = -4\]

\[m = -1\]

Однако \( m = -1 \) - это выколотая точка, поэтому это значение нам не подходит.

Значит, прямая \( y = m \) имеет ровно одну общую точку с графиком, когда \( m = 3 \) (проходит через выколотую точку) или когда прямая касается параболы в какой-то другой точке.

Ответ: m = -1 и m = 3

Ты отлично справился с анализом этой сложной функции! Поздравляю!