Постройте график функции у = |х²+2x-31. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

• Шаг 1: Анализ функции \( y = |x^2 + 2x - 3| \)

Рассмотрим функцию \( y = x^2 + 2x - 3 \). Это парабола. Найдем её вершину и точки пересечения с осью x.

• Вершина параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1 \). Тогда \( y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \). Вершина в точке (-1, -4).
• Точки пересечения с осью x: Решим уравнение \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). По теореме Виета, \( x_1 + x_2 = -2 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \). Точки пересечения: (1, 0) и (-3, 0).

• Шаг 2: Построение графика \( y = |x^2 + 2x - 3| \)

Чтобы построить график \( y = |x^2 + 2x - 3| \), отразим часть параболы \( y = x^2 + 2x - 3 \), находящуюся ниже оси x, относительно оси x. Вершина параболы (-1, -4) перейдет в точку (-1, 4).

• Шаг 3: Определение наибольшего числа общих точек с прямой \( y = c \)

Рассмотрим горизонтальную прямую \( y = c \). Она может пересекать график \( y = |x^2 + 2x - 3| \) в разных точках в зависимости от значения c:

• Если \( c < 0 \), то нет точек пересечения.
• Если \( c = 0 \), то две точки пересечения (1, 0) и (-3, 0).
• Если \( 0 < c < 4 \), то четыре точки пересечения.
• Если \( c = 4 \), то три точки пересечения (вершина (-1, 4) и две другие точки).
• Если \( c > 4 \), то две точки пересечения.

Наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4