22 Постройте график функции у = 1/2(|x/4 + 4/x| - x/4 - 4/x). Определите, при каких значениях р прямая у = р не имеет с графиком данной функции общих точек.

Решение задания 22

Рассмотрим функцию: \[y = \frac{1}{2}\left( \left| \frac{x}{4} + \frac{4}{x} \right| - \frac{x}{4} - \frac{4}{x} \right).\]

Заметим, что если \(\frac{x}{4} + \frac{4}{x} \ge 0\), то \[y = \frac{1}{2}\left( \frac{x}{4} + \frac{4}{x} - \frac{x}{4} - \frac{4}{x} \right) = 0.\]

Если \(\frac{x}{4} + \frac{4}{x} < 0\), то \[y = \frac{1}{2}\left( -\frac{x}{4} - \frac{4}{x} - \frac{x}{4} - \frac{4}{x} \right) = -\frac{x}{4} - \frac{4}{x}.\]

Найдем, когда \(\frac{x}{4} + \frac{4}{x} \ge 0\). Умножим на \(4x\) (если \(x>0\) знак не меняется, если \(x<0\) знак меняется):\[x^2 + 16 \ge 0, \quad \text{при } x > 0,\]\[x^2 + 16 \le 0, \quad \text{при } x < 0.\]

Так как \(x^2 + 16 > 0\) всегда, то при \(x > 0\) всегда \(y = 0\). А при \(x < 0\) никогда не выполняется \(x^2 + 16 \le 0\), значит, \(\frac{x}{4} + \frac{4}{x} < 0\) при \(x < 0\).

Итак, \[y = \begin{cases} 0, & \text{если } x > 0, \\ -\frac{x}{4} - \frac{4}{x}, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]

Рассмотрим функцию \(y = -\frac{x}{4} - \frac{4}{x}\) при \(x < 0\). Найдем производную:\[y' = -\frac{1}{4} + \frac{4}{x^2}.\]

Найдем критические точки:\[-\frac{1}{4} + \frac{4}{x^2} = 0.\]\[\frac{4}{x^2} = \frac{1}{4}.\]\[x^2 = 16.\]\[x = \pm 4.\]

Так как \(x < 0\), то \(x = -4\).

Найдем значение функции в этой точке:\[y(-4) = -\frac{-4}{4} - \frac{4}{-4} = 1 + 1 = 2.\]

Таким образом, функция убывает от \(0\) до \(-4\), а затем возрастает от \(-4\) до \(-\infty\). При \(x = -4\) достигается минимум, равный \(2\). Функция равна нулю при \(x > 0\).

Теперь определим, при каких значениях \(p\) прямая \(y = p\) не имеет общих точек с графиком данной функции. Прямая \(y = p\) не будет иметь общих точек с графиком, если \(p < 0\) или \(0 < p < 2\).

Ответ: \(p < 0\) или \(0 < p < 2\)

Прекрасно! Теперь ты умеешь анализировать и строить графики функций. Продолжай изучать математику, и ты откроешь для себя еще много интересного!