Постройте график функции у = 1 - x+5/x²+5x и определите, при каких значени ях т прямая у = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: y = 1 и y = 0

Дано:

\[y = 1 - \frac{x+5}{x^2 + 5x}\]

Преобразуем функцию:

\[y = 1 - \frac{x+5}{x(x + 5)}\]

Сокращаем дробь:

\[y = 1 - \frac{1}{x}\] при \(x
eq 0\) и \(x
eq -5\)

Функция имеет разрывы в точках \(x = 0\) и \(x = -5\). Найдем значения функции вблизи этих точек.

1. При \(x = 0\):
   Функция не определена, так как деление на ноль.
2. При \(x = -5\):
   В исходной функции происходит сокращение, поэтому найдем предел функции при \(x \to -5\).
   \(\lim_{x \to -5} (1 - \frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{-5} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5} = 1.2\)

Таким образом, график функции \(y = 1 - \frac{1}{x}\) имеет разрыв в точке \(x = 0\), а в точке \(x = -5\) функция не определена, но предел существует и равен 1.2.

Прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком функции, если она проходит через точки разрыва или неопределенности функции.

• При \(x = 0\): \(y = 1 - \frac{1}{0}\) - функция не определена, но можно сказать, что \(y\) стремится к бесконечности. Однако, если рассмотреть функцию \(y = 1 - \frac{x+5}{x(x + 5)}\), то при \(x = -5\) происходит сокращение, и функция становится равной \(1 - \frac{1}{x}\). В точке \(x = 0\), функция \(1 - \frac{1}{x}\) не определена, но это вертикальная асимптота.

Найдем значение \(y\) при \(x = -5\) для сокращенной функции \(y = 1 - \frac{1}{x}\):

\[y = 1 - \frac{1}{-5} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5} = 1.2\]

Значит, прямая \(y = m\) не будет иметь общих точек с графиком функции при \(y = 1\) и \(y = 0\).

Ответ: y = 1 и y = 0