22. Постройте график функции у = х²-2|x|-х и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 - 2|x| - x$$.

1) Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 - 2x - x = x^2 - 3x$$

2) Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 + 2x - x = x^2 + x$$

Таким образом, функция задаётся двумя разными выражениями в зависимости от знака $$x$$:

$$y = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \geq 0 \\ x^2 + x, & x < 0 \end{cases}$$

Построим график этой функции.

1) $$y = x^2 - 3x$$ - парабола.

Найдем вершину параболы :

$$x_в = -b/2a = -(-3)/2*1 = 3/2 = 1.5$$

$$y_в = (1.5)^2 - 3 * 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25$$

Точки пересечения с осями :

$$x = 0, y = 0$$

$$y = 0, x^2 - 3x = 0$$

$$x(x-3) = 0$$

$$x = 0 , x = 3$$

2) $$y = x^2 + x$$ - парабола.

Найдем вершину параболы :

$$x_в = -b/2a = -1/2*1 = -0.5$$

$$y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$$

Точки пересечения с осями :

$$x = 0, y = 0$$

$$y = 0, x^2 + x = 0$$

$$x(x+1) = 0$$

$$x = 0 , x = -1$$

Теперь нужно определить, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Прямая $$y = m$$ - горизонтальная прямая.

1) Если $$m < -2.25$$, то общих точек нет.

2) Если $$m = -2.25$$, то одна общая точка.

3) Если $$-2.25 < m < -0.25$$, то две общие точки.

4) Если $$m = -0.25$$, то три общие точки.

5) Если $$m > -0.25$$, то две общие точки.

6) Если $$m = 0$$, то три общие точки.

7) Если $$m > 0$$, то две общие точки.

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек при $$m = -2.25$$ и при $$m = -0.25$$.

Ответ: -2.25, -0.25.