Постройте график функции у = х² + 4х-5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Функция y = x² + 4x - 5 является квадратичной функцией, графиком которой является парабола.

1. Найдем вершину параболы:
   $$ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 $$
   $$ y_в = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 $$
   Вершина параболы: (-2, -9).
2. Найдем нули функции (точки пересечения с осью x):
   $$ x^2 + 4x - 5 = 0 $$
   $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 $$
   $$ x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$
   $$ x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$
   Нули функции: x = 1 и x = -5.

а) Область определения и область значения:

• Область определения: Все действительные числа, т.е. (-∞; +∞).
• Область значения: [-9; +∞), так как вершина параболы находится в точке (-2, -9), и парабола направлена вверх.

б) Нули функции:

• Нули функции: x = 1 и x = -5 (точки пересечения с осью x).

в) Промежутки знакопостоянства:

• Функция положительна (y > 0) при x < -5 и x > 1.
• Функция отрицательна (y < 0) при -5 < x < 1.

г) Промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на промежутке (-∞; -2].
• Функция возрастает на промежутке [-2; +∞).

д) Наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются:

• Наименьшее значение функции: y = -9 (в вершине параболы).
• Наибольшего значения функция не имеет, так как функция неограниченно возрастает при x → +∞ и x → -∞.