3. Постройте график функции у = х²-4х+5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Функция $$y = x^2 - 4x + 5$$ является квадратичной. Ее график - парабола. 1. Найдем вершину параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ $$y_в = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$ Вершина параболы: $$(2, 1)$$. 2. Определим направление ветвей. Так как коэффициент при $$x^2$$ (то есть 1) положительный, ветви параболы направлены вверх. а) Область определения: $$x \in (-\infty, +\infty)$$ Область значений: $$y \in [1, +\infty)$$ б) Нули функции: Парабола не пересекает ось x, так как вершина находится выше оси x, и ветви направлены вверх. Следовательно, нулей нет. в) Промежутки знакопостоянства: $$f(x) > 0$$ для всех $$x \in (-\infty, +\infty)$$, так как парабола всегда выше оси x. $$f(x) < 0$$ - нет таких x. г) Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на интервале $$(-\infty, 2]$$ Функция возрастает на интервале $$[2, +\infty)$$ д) Наименьшее и наибольшее значения функции: Наименьшее значение функции: $$y = 1$$ (в вершине параболы). Наибольшего значения не существует, так как функция неограниченно возрастает.