Постройте график функции у = х²+2,5x-2,5|x + 2|+1. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 2.5x - 2.5|x+2| + 1$$.

Определим два случая:

1. Если $$x \geq -2$$, то $$|x+2| = x+2$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 + 2.5x - 2.5(x+2) + 1 = x^2 + 2.5x - 2.5x - 5 + 1 = x^2 - 4$$

2. Если $$x < -2$$, то $$|x+2| = -(x+2)$$, и функция принимает вид:

$$y = x^2 + 2.5x - 2.5(-(x+2)) + 1 = x^2 + 2.5x + 2.5x + 5 + 1 = x^2 + 5x + 6$$

Теперь мы можем построить график функции, состоящий из двух частей:

1. $$y = x^2 - 4$$ для $$x \geq -2$$

2. $$y = x^2 + 5x + 6$$ для $$x < -2$$

Для первой части, $$y = x^2 - 4$$:

- При $$x = -2$$, $$y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$$

- При $$x = 0$$, $$y = 0^2 - 4 = -4$$ (не подходит, т.к. $$x \geq -2$$)

Для второй части, $$y = x^2 + 5x + 6$$:

- При $$x = -2$$, $$y = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

- При $$x = -3$$, $$y = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

- При $$x = -4$$, $$y = (-4)^2 + 5(-4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2$$

- Вершина параболы: $$x_v = -\frac{5}{2} = -2.5$$, $$y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$$

График функции выглядит следующим образом:

      |          /       /        /       /       /------+-------/-------/-------/-------/-------        |      /        /   2----/--------/        /      /        /      /   0--/-------/-------/-------/-----       |  /       /      /       /      /-0.25--       |/-------/-------\------\------\-------\  -4   |---------------------------------------

Прямая $$y = m$$ будет иметь ровно три общие точки с графиком функции, если она проходит через вершину параболы $$y = x^2 + 5x + 6$$ и касается первой части $$y=x^2-4$$. В вершине $$y=-0.25$$.

Также $$y=0$$ проходит через точку стыка двух участков графика при $$x=-2$$.

Таким образом, $$m = -0.25$$ или $$m = 0$$.

Ответ: m = -0.25, m = 0