3. Постройте график функции у = х²-4x-5. Найдите с помощью графика: а) значение у при х = 0,5; -2 б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0; д) промежуток, в котором функция убывает.

График функции y = x² - 4x - 5 - парабола.

Найдем координаты вершины параболы:

$$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$

$$y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$

Вершина параболы (2, -9)

а) При х = 0,5:

y = (0,5)² - 4(0,5) - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75

б) При у = 3:

3 = x² - 4x - 5

x² - 4x - 8 = 0

D = (-4)² - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48

$$x_1 = \frac{4 + \sqrt{48}}{2} = \frac{4 + 4\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\sqrt{3} \approx 5,46$$

$$x_2 = \frac{4 - \sqrt{48}}{2} = \frac{4 - 4\sqrt{3}}{2} = 2 - 2\sqrt{3} \approx -1,46$$

в) Нули функции:

x² - 4x - 5 = 0

D = (-4)² - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36

$$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

г) у > 0: x < -1 или x > 5

у < 0: -1 < x < 5

д) Функция убывает на промежутке: (-∞, 2]

Ответ: а) -6,75; б) 5,46 и -1,46; в) 5 и -1; г) у > 0 при x < -1 или x > 5, у < 0 при -1 < x < 5; д) (-∞, 2]