22. Постройте график функции у = 4х + 6x211x30. Определите, при каких значениях т прямая у т имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Запишем функцию в виде:

\[y = 4|x + 6| - x^2 - 11x - 30\]

Рассмотрим два случая:

1. Если x ≥ -6, то |x + 6| = x + 6: \[y = 4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = 4x + 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 7x - 6\]
2. Если x < -6, то |x + 6| = -(x + 6): \[y = -4(x + 6) - x^2 - 11x - 30 = -4x - 24 - x^2 - 11x - 30 = -x^2 - 15x - 54\]

Таким образом, функция имеет вид:

\[y = \begin{cases} -x^2 - 7x - 6, & x \ge -6 \\ -x^2 - 15x - 54, & x < -6 \end{cases}\]

Исследуем каждую часть:

1. Для x ≥ -6: y = -x² - 7x - 6
   • Это парабола, ветви направлены вниз.
   • Найдем вершину параболы: x₀ = -b / 2a = -(-7) / (2(-1)) = -3.5
   • y₀ = -(-3.5)² - 7(-3.5) - 6 = -12.25 + 24.5 - 6 = 6.25
2. Для x < -6: y = -x² - 15x - 54
   • Это парабола, ветви направлены вниз.
   • Найдем вершину параболы: x₀ = -b / 2a = -(-15) / (2(-1)) = -7.5
   • y₀ = -(-7.5)² - 15(-7.5) - 54 = -56.25 + 112.5 - 54 = 2.25

Координаты точек:

• Точка соединения двух частей параболы: (-6, 0)
• Вершина первой параболы: (-3.5, 6.25)
• Вершина второй параболы: (-7.5, 2.25)

Прямая y = m будет иметь три общие точки с графиком функции, когда она проходит через вершину параболы при x < -6 или когда она касается точки соединения двух парабол, то есть при y = 0 или y = 2.25. А также, когда она проходит через вершину параболы при x ≥ -6, то есть при y = 6.25