22. Постройте график функции у = {-x²+6x -x-1, с при каких значениях т прямая ут имеет точки.

Ответ: График построен. Прямая y=m имеет три общие точки при m = 8.

График функции состоит из двух частей:

• \(y = -x^2 + 6x\) при \(x \geq 1\)
• \(y = -x - 1\) при \(x < 1\)

Построим график функции \(y = -x^2 + 6x\). Это парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем вершину параболы: \(x_в = -b / (2a) = -6 / (2 \cdot (-1)) = 3\). Тогда \(y_в = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9\).

Вершина параболы: (3, 9).

Найдем точки пересечения с осью Ox: \(-x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(-x + 6) = 0\). Корни: \(x_1 = 0, x_2 = 6\).

Построим график функции \(y = -x - 1\) при \(x < 1\). Это прямая линия.

При \(x = 1, y = -1 - 1 = -2\).

При \(x = 0, y = -1\).

Теперь построим график кусочной функции.

Прямая \(y = m\) – горизонтальная прямая. Она имеет три общие точки с графиком функции, когда проходит через точку, где парабола достигает своего максимума и при значении x=1.

Максимум параболы достигается в вершине, то есть при \(y = 9\), но при \(y=9\) будет только 2 точки пересечения (одна точка параболы и одна точка прямой).

Т.к. функция \(y = -x^2 + 6x\) определена при \(x \ge 1\), то рассмотрим значение функции в точке x=1: y(1) = -1^2 + 6 \cdot 1 = 5.

При \(y = -x - 1\) прямая проходит через точку (1, -2).

Теперь найдем, при каких значениях m прямая \(y = m\) имеет три общие точки с графиком.

Три общие точки будут, когда \(m = 8\).

Ответ: График построен. Прямая y=m имеет три общие точки при m = 8.