22. Постройте график функции у = (x⁴ + 3x³) / (3x + x²) - 1 и определите, при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком не более одной общей точки.

Преобразуем функцию:

$$y = \frac{x^4 + 3x^3}{3x + x^2} - 1 = \frac{x^3(x + 3)}{x(x + 3)} - 1$$

Сокращаем дробь, учитывая, что $$x
eq 0$$ и $$x
eq -3$$:

$$y = x^2 - 1$$

Таким образом, графиком функции является парабола $$y = x^2 - 1$$ с выколотыми точками при $$x = 0$$ и $$x = -3$$.

При $$x = 0, y = 0^2 - 1 = -1$$. Точка $$(0, -1)$$ выколота.

При $$x = -3, y = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$$. Точка $$(-3, 8)$$ выколота.

Прямая $$y = c$$ имеет с графиком не более одной общей точки, если она проходит через выколотые точки или касается параболы в её вершине.

Вершина параболы $$y = x^2 - 1$$ находится в точке $$(0, -1)$$.

То есть, прямая $$y = -1$$ касается параболы в вершине, а также проходит через выколотую точку $$(0, -1)$$.

Прямая $$y = 8$$ проходит через выколотую точку $$(-3, 8)$$.

Таким образом, прямая $$y=c$$ имеет с графиком не более одной общей точки при $$c = -1$$ и $$c = 8$$.

График функции и прямые:

Ответ: -1; 8