Постройте график функции у = (x²+x)⋅|x| x+1 Определите, при каких значениях m прямая у = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: m = 0 и m = -1

Разбираемся:

1. Упростим функцию:
   \[y = \frac{(x^2+x)|x|}{x+1} = \frac{x(x+1)|x|}{x+1}\]
   При \(x
   eq -1\), функция упрощается до:
   \[y = x|x|\]
2. Рассмотрим два случая:
• Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), и функция имеет вид:
  \[y = x \cdot x = x^2\]
• Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), и функция имеет вид:
  \[y = x \cdot (-x) = -x^2\]
3. Таким образом, функция имеет вид:
   \[y = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\]
4. Построим график этой функции. Это парабола \(y = x^2\) для \(x \geq 0\) и парабола \(y = -x^2\) для \(x < 0\). Важно помнить, что в точке \(x = -1\) функция не определена (выколотая точка).
5. Находим значение y в точке x = -1:
• Для \(y = -x^2\) при \(x = -1\), \(y = -(-1)^2 = -1\)
6. Находим, при каких значениях m прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком:
• Очевидно, что прямая \(y = 0\) пересекает график в точке (0, 0).
• Прямая \(y = -1\) проходит через выколотую точку (-1, -1), поэтому не имеет общих точек с графиком.
• Любая прямая \(y = m\), где \(m < 0\) и \(m
  eq -1\), будет пересекать левую часть графика (там, где \(x < 0\)).
• Любая прямая \(y = m\), где \(m > 0\), будет пересекать правую часть графика (там, где \(x \geq 0\)).
7. Таким образом, прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком, когда \(m = -1\). Рассмотрим случай, когда прямая y = m касается графика в точке (0,0). То есть m = 0, тоже не имеет общих точек, так как функция определена только для x > 0 и x < 0.

Ответ: m = 0 и m = -1