22 Постройте график функции у= (x-2)(x²-5x+4) / x-4 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Функция: y = ((x-2)(x²-5x+4))/(x-4)

Разложим квадратный трехчлен x²-5x+4 на множители. Корни квадратного трехчлена x²-5x+4:

x₁ = 1, x₂ = 4

x²-5x+4 = (x-1)(x-4)

y = ((x-2)(x-1)(x-4))/(x-4)

Сократим дробь на (x-4), при условии, что x ≠ 4:

y = (x-2)(x-1) = x²-3x+2, при x ≠ 4

Получаем параболу с вершиной в точке:

x_в = -b/(2a) = 3/2 = 1.5

y_в = (1.5)² - 3 * 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25

Координаты вершины параболы (1.5; -0.25)

Найдем значение функции в точке x = 4:

y(4) = 4² - 3 * 4 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6

Графиком функции является парабола y = x² - 3x + 2 с выколотой точкой (4; 6). Прямая y = m имеет с графиком одну общую точку при:

1. m = -0.25 (прямая касается параболы в вершине)
2. m = 6 (прямая проходит через выколотую точку)

Ответ: m = -0.25, m = 6