1. Постройте график функции $$y = \frac{(x-2)(x^2-7x+6)}{x-1}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим выражение для функции:

$$y = \frac{(x-2)(x^2-7x+6)}{x-1} = \frac{(x-2)(x-6)(x-1)}{x-1}$$

При $$x
eq 1$$, $$y = (x-2)(x-6) = x^2 - 8x + 12$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{8}{2} = 4$$. Координата $$y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4$$.

Так как при $$x=1$$ происходит сокращение, в точке $$x=1$$ будет прокол. Найдем координату $$y$$ для этой точки: $$y = 1^2 - 8 \cdot 1 + 12 = 1 - 8 + 12 = 5$$.

Теперь построим график функции. Это парабола $$y = x^2 - 8x + 12$$ с вершиной в точке $$(4, -4)$$ и проколом в точке $$(1, 5)$$.

Горизонтальная прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит либо через вершину параболы, либо через точку прокола.

Таким образом, $$m = -4$$ или $$m = 5$$.

Ответ: $$m = -4; m = 5$$