22. Постройте график функции $$y = |x^2 - 4x + 5|$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = |x^2 - 4x + 5|$$.

Найдем вершину параболы $$x^2 - 4x + 5$$:

$$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$

$$y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $$(2, 1)$$.

График функции $$x^2 - 4x + 5$$ лежит выше оси $$x$$, так как $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$$ и $$a = 1 > 0$$. Следовательно, $$x^2 - 4x + 5 > 0$$ при любом $$x$$.

Таким образом, $$y = |x^2 - 4x + 5| = x^2 - 4x + 5$$.

График функции $$y = |x^2 - 4x + 5|$$ совпадает с графиком функции $$y = x^2 - 4x + 5$$, то есть это парабола с вершиной в точке $$(2, 1)$$.

Прямая $$y = m$$ будет иметь с графиком ровно три общие точки, если она будет касаться графика в вершине параболы, то есть $$m = 1$$.

Если прямая будет пересекать параболу в двух точках, то будет две общие точки, если $$m > 1$$. Если прямая не пересекает параболу, то общих точек не будет, если $$m < 1$$.

Прямая $$y=m$$ может касаться параболы только в одной точке – вершине. Три общие точки невозможны.

Ответ: прямая $$y=m$$ не имеет с графиком ровно три общие точки