Постройте график функции y = |x|•(x+2)-3x. Определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = |x|(x+2) - 3x$$.

Если $$x \ge 0$$, то $$y = x(x+2) - 3x = x^2 + 2x - 3x = x^2 - x$$.

Если $$x < 0$$, то $$y = -x(x+2) - 3x = -x^2 - 2x - 3x = -x^2 - 5x$$.

Таким образом, $$y = \begin{cases} x^2 - x, \quad x \ge 0 \\ -x^2 - 5x, \quad x < 0 \end{cases}$$.

Найдем вершину параболы $$y = x^2 - x$$. $$x_в = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2}$$. $$y_в = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$.

Найдем вершину параболы $$y = -x^2 - 5x$$. $$x_в = \frac{-(-5)}{-2} = -\frac{5}{2}$$. $$y_в = -\left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = \frac{25}{4} = 6.25$$.

При $$x=0$$, $$y=0$$.

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если $$m = 0$$ или $$m = -\frac{1}{4}$$.

Ответ: $$m = 0$$, $$m = -0.25$$.