Точка Р — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ADP и ВСР равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC. P - середина CD.

Площадь трапеции ABCD равна $$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.

Площадь треугольника ADP равна $$S_{ADP} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_1$$, где h_1 - высота треугольника ADP, опущенная из вершины P на AD. Так как P - середина CD, то $$h_1 = \frac{h}{2}$$. Следовательно,

$$S_{ADP} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD \cdot h}{4}$$

Площадь треугольника BCP равна $$S_{BCP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$$, где h_2 - высота треугольника BCP, опущенная из вершины P на BC. Так как P - середина CD, то $$h_2 = \frac{h}{2}$$. Следовательно,

$$S_{BCP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4}$$

Сумма площадей треугольников ADP и BCP равна

$$S_{ADP} + S_{BCP} = \frac{AD \cdot h}{4} + \frac{BC \cdot h}{4} = \frac{(AD + BC) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$

Следовательно, сумма площадей треугольников ADP и BCP равна половине площади трапеции ABCD. Что и требовалось доказать.