Постройте график функции y = |x²+3x+2|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = |x^2 + 3x + 2| \).

Сначала построим график функции \( y = x^2 + 3x + 2 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх.

• Найдем корни уравнения \( x^2 + 3x + 2 = 0 \):
  \( (x + 1)(x + 2) = 0 \)
  \( x_1 = -1 \), \( x_2 = -2 \)
• Вершина параболы: \( x_v = \frac{-3}{2} = -1.5 \), \( y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 \)

Теперь строим график функции \( y = |x^2 + 3x + 2| \). Для этого отразим часть параболы, находящуюся ниже оси x, симметрично относительно оси x. Вершина параболы станет точкой (\( -1.5 \), 0.25).

Чтобы найти наибольшее число общих точек графика с прямой, параллельной оси абсцисс (горизонтальной прямой), нужно провести такую прямую, которая пересекает график в наибольшем количестве точек.

График функции выглядит так, что горизонтальная прямая может пересекать его максимум в четырех точках.

Ответ: 4