25. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и Д и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD=14, ВС=7.

Пусть ABCD - трапеция, AB перпендикулярна BC, окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. AD = 14, BC = 7.

Так как окружность касается AB в точке E, то угол AE - касательная к окружности.

Значит, угол AE и хорда DE в окружности образуют угол, равный половине дуги DE. Угол EDC опирается на дугу EC, значит, угол ECD = углу AED.

Угол ADE опирается на дугу AE, значит, угол ADE = углу ABE.

В трапеции BC параллельна AD. AB перпендикулярна BC, значит AB перпендикулярна AD. То есть угол BAD = углу ABC = 90 градусов.

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке O.

Треугольники OBC и OAD - подобные, поэтому OB / OA = BC / AD = 7 / 14 = 1/2.

Пусть OB = x, тогда OA = 2x. AB = OA - OB = 2x - x = x. Значит, AB = OB.

Так как AE - касательная к окружности, проходящей через точки C и D, то AE^2 = BC * AD = 7 * 14 = 98.

AE = sqrt(98) = 7 * sqrt(2).

Проведем высоту EH к стороне CD. EH - искомое расстояние от точки E до CD.

EH = AE * sin(EAB).

sin(EAB) = OB / OE.

OE = sqrt(OC^2 + CE^2).

Так как CE = 1/2 * AB, то СE = x / 2.

Ответ: 7