22 Постройте график функции y = −|x|x+|x|+5х Определите, при каких значениях с прямая y = с имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Рассмотрим функцию $$y = -|x|x + |x| + 5x$$.

Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид:

$$y = -x^2 + x + 5x = -x^2 + 6x$$

Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид:

$$y = -(-x)x + (-x) + 5x = x^2 - x + 5x = x^2 + 4x$$

Таким образом, функцию можно переписать как:

$$y = \begin{cases} -x^2 + 6x, & x \ge 0 \ x^2 + 4x, & x < 0 \end{cases}$$

Построим график функции.

Теперь найдем значения $$c$$, при которых прямая $$y = c$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Рассмотрим случай, когда $$x \ge 0$$. Тогда $$y = -x^2 + 6x$$. Найдем вершину параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$$

$$y_в = -3^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $$(3, 9)$$.

Теперь рассмотрим случай, когда $$x < 0$$. Тогда $$y = x^2 + 4x$$. Найдем вершину параболы:

$$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2$$

$$y_в = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $$(-2, -4)$$.

Прямая $$y=c$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину одной из парабол или через точку $$0$$. График проходит через точку $$(0,0)$$. Таким образом, прямая $$y=c$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если $$c = 9, c = -4$$ или $$c = 0$$.

Ответ: $$-4, 0, 9$$