23 Прямая, параллельная основаниям AD и ВС трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках М и N соответственно. Найдите длину отрезка MN, если AD = 8 и BC = 24.

Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, а MN - прямая, параллельная основаниям, проходящая через точку O.

Тогда MN = MO + ON.

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам, значит, $$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{24}{8} = 3$$

Треугольники BOM и BAD подобны, значит, $$\frac{MO}{AD} = \frac{BO}{BD} = \frac{BO}{BO + OD} = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$$

$$MO = \frac{3}{4} AD = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$$

Треугольники OCN и CDA подобны, значит, $$\frac{ON}{AD} = \frac{OC}{AC} = \frac{1}{4}$$

$$ON = \frac{CO}{CA} \cdot AD$$

Так как треугольники BOM и ABC подобны, $$\frac{MO}{BC} = \frac{AO}{AC} = \frac{1}{4}$$

Следовательно, $$MO = \frac{3}{4} BC = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18$$.

Треугольники OND и BCD подобны, значит, $$\frac{ON}{BC} = \frac{DO}{DB} = \frac{1}{4}$$

$$ON = \frac{OD}{DB} \cdot BC$$

Тогда, $$\frac{ON}{BC} = \frac{DO}{DB} = \frac{OD}{BO + OD} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4}$$

$$ON = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$$

Тогда MN = MO + ON = 6 + 6 = 12

Ответ: 12