22. Постройте график функции (y = \frac{x^4 + 2x^3}{2x + x^2} - 1) и определите, при каких значениях (p) прямая (y = p) имеет с графиком ровно две общие точки.

Сначала упростим выражение для функции: (y = \frac{x^4 + 2x^3}{2x + x^2} - 1 = \frac{x^3(x + 2)}{x(2 + x)} - 1) При (x
eq 0) и (x
eq -2): (y = \frac{x^3}{x} - 1 = x^2 - 1) Таким образом, график функции (y = x^2 - 1) является параболой с вершиной в точке (0, -1), но с выколотыми точками при (x = 0) и (x = -2). Когда (x = 0), (y = 0^2 - 1 = -1). Значит, точка (0, -1) выколота. Когда (x = -2), (y = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3). Значит, точка (-2, 3) выколота. Прямая (y = p) имеет с графиком ровно две общие точки, если: 1) Она проходит через выколотую точку (-2, 3). В этом случае (p = 3). 2) Она касается параболы в вершине и проходит ниже выколотой точки (0, -1), но при этом (p = -1), где у нас выколота точка. 3) Если (p > -1 ) и ( p < 3), то прямая будет пересекать параболу дважды. Таким образом, прямая (y = p) имеет с графиком ровно две общие точки при (p = 3) и при (p \in (-1;3) ). Ответ: (p = 3) и (p = -1)