23. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам (см. рис. 136). Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 5.

Пусть ( O ) – точка пересечения (AD) и (BM). Так как (AD) перпендикулярна (BM), то (\angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}). Так как (AD) делит (BM) пополам, то (BO = OM). Рассмотрим треугольники (\triangle AOB) и ( \triangle AOM). 1. (BO = OM) (по условию) 2. (AO) – общая сторона 3. (\angle AOB = \angle AOM = 90^{\circ}) Следовательно, ( \triangle AOB = \triangle AOM ) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что (AB = AM). Так как (AB = 5), то (AM = 5). (BM) – медиана треугольника (ABC), следовательно, (AM = MC). Таким образом, (AC = AM + MC = 2 cdot AM = 2 cdot 5 = 10). Ответ: (AC = 10)