22. Постройте график функции $$y = f(x)$$, где $$f(x) = \begin{cases} x(6-x), \text{ если } x \le 0 \\ x(x-6), \text{ если } x > 0 \end{cases}$$ При каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком этой функции три общие точки?

Рассмотрим функцию $$f(x)$$. Для $$x \le 0$$, $$f(x) = x(6-x) = 6x - x^2$$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $$x = \frac{-6}{2(-1)} = 3$$, но так как рассматриваем $$x \le 0$$, то вершина не входит в рассматриваемую область. В точке $$x = 0$$, $$f(0) = 0$$. Для $$x > 0$$, $$f(x) = x(x-6) = x^2 - 6x$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $$x = \frac{6}{2} = 3$$. В точке $$x = 3$$, $$f(3) = 3(3-6) = 3(-3) = -9$$. Прямая $$y=m$$ будет иметь три общие точки с графиком функции, если она проходит через вершину параболы $$x > 0$$ и пересекает ветвь параболы $$x \le 0$$ в двух точках. Это происходит при $$m = -9$$ и $$m \in (-9, 0)$$. Но $$y=0$$ имеет две общие точки, значит исключаем. Рассмотрим случай, когда прямая $$y=m$$ касается графика функции $$x \le 0$$ и пересекает график функции $$x > 0$$ в одной точке. Такого случая нет. Таким образом, $$m \in (-9, 0)$$. Рассмотрим $$m=0$$. В этом случае $$f(x) = 0$$ при $$x = 0$$ и $$x = 6$$. Но $$x=0$$ входит в оба промежутка. Таким образом, прямая $$y=0$$ имеет две общие точки. Значит, $$m \in (-9, 0)$$ Ответ: m = -9