3. Постройте график функции y = -x^2 - 4x + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Решение: 1. **Построим график функции y = -x^2 - 4x + 5** Это квадратичная функция, график которой - парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при x^2 отрицательный. Найдем вершину параболы: [x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2*(-1)} = \frac{4}{-2} = -2\] [y_в = -(-2)^2 - 4*(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\] Вершина параболы: (-2, 9). Найдем точки пересечения с осью x (нули функции): \[-x^2 - 4x + 5 = 0\] [x^2 + 4x - 5 = 0\] Дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36. Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] Точки пересечения с осью x: (1, 0) и (-5, 0). Найдем точку пересечения с осью y: y = -0^2 - 4*0 + 5 = 5 Точка пересечения с осью y: (0, 5). 2. **Характеристики функции по графику:** а) *Область определения:* D(y) = (-\infty, +\infty) (так как это парабола, определена для всех x) *Область значения:* E(y) = (-\infty, 9] (максимальное значение функции - это y-координата вершины). б) *Нули функции:* x = -5 и x = 1 (точки пересечения с осью x). в) *Промежутки знакопостоянства:* *y > 0 при x \in (-5, 1)* (функция положительна между нулями) *y < 0 при x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)* (функция отрицательна вне нулей). г) *Промежутки возрастания и убывания:* *Функция возрастает на промежутке x \in (-\infty, -2)* (до вершины параболы) *Функция убывает на промежутке x \in (-2, +\infty)* (после вершины параболы). д) *Наибольшее значение функции:* y = 9 (в вершине параболы). *Наименьшего значения функция не имеет* (стремится к -\infty). **Ответ:** * Область определения: D(y) = (-\infty, +\infty) * Область значения: E(y) = (-\infty, 9] * Нули функции: x = -5 и x = 1 * Промежутки знакопостоянства: y > 0 при x \in (-5, 1); y < 0 при x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty) * Возрастает на (-\infty, -2), убывает на (-2, +\infty) * Наибольшее значение: 9, наименьшего не существует.