Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2-6x+11,&x\ge 2,\\x+3,&x<2\end{cases}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

На участке \(x\ge 2\) парабола имеет вид \(y=(x-3)^2+2\). Её вершина — точка \((3;2)\); значения функции на этом участке — от 2 и выше. На участке \(x<2\) прямая \(y=x+3\) принимает все значения меньше 5.

При \(m=2\) парабола даёт одну точку, а прямая — ещё одну, всего две. При \(2<m<3\) парабола даёт две точки, и прямая — одну, всего три. При \(m=3\) корни параболической части соответствуют \(x=2\) и \(x=4\); оба допустимы, и вместе с точкой прямой получаются три пересечения. При \(3<m<5\) парабола даёт одну допустимую точку, а прямая — одну, всего две. При \(m=5\) прямая своей точки не даёт, так как её граничная точка при \(x=2\) исключена; парабола даёт одну точку. При \(m<2\) есть только пересечение с прямой, а при \(m>5\) — только одно пересечение с параболой.

Ответ: \(m=2\) или \(3<m<5\).