Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+6x+9, & \text{если }x\ge -5;\\-\frac{20}{x}, & \text{если }x<-5.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.

Первая часть графика: \(y=(x+3)^2\), \(x\ge -5\). Это правая часть параболы с вершиной \((-3;0)\); при \(x=-5\) получаем точку \((-5;4)\), включённую в график.

Вторая часть: \(y=-\frac{20}{x}\), \(x<-5\). При \(x\to-5-\) значение \(y\to4\), поэтому точка \((-5;4)\) для этой части не включается; ветвь расположена выше прямой \(y=4\).

Исследуем пересечения с прямой \(y=m\).

Для параболы: \[(x+3)^2=m.\] Если \(m<0\), решений нет; если \(m=0\), одно решение \(x=-3\); если \(04\), одно решение, так как левый корень меньше \(-5\) и не принадлежит области этой части.

Для гиперболы при \(x<-5\): \[-\frac{20}{x}=m,\quad x=-\frac{20}{m}.\] Такое пересечение существует тогда и только тогда, когда \(m>4\).

Следовательно, общее число точек: при \(m<0\) — 0; при \(m=0\) — 1; при \(04\) — 2 (одна точка на параболе и одна на гиперболе).

Ответ: одну общую точку прямая имеет при \(m=0\); две общие точки — при \(m>0\).