Постройте график функции $$y = \frac{(0.25x^2+x)|x|}{x+4}$$. Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Функция задана как $$y = \frac{(0.25x^2+x)|x|}{x+4}$$. Область определения функции: $$x
eq -4$$.

1. Рассмотрим два случая для $$|x|$$:
   • Случай 1: $$x \ge 0$$. В этом случае $$|x| = x$$. Функция принимает вид:

     \[ y = \frac{(0.25x^2+x)x}{x+4} = \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} \]

   • Случай 2: $$x < 0$$. В этом случае $$|x| = -x$$. Функция принимает вид:

     \[ y = \frac{(0.25x^2+x)(-x)}{x+4} = \frac{-0.25x^3-x^2}{x+4} \]

2. Анализ функции для $$x \ge 0$$:
   • $$y = \frac{0.25x(x^2+4x)}{x+4} = \frac{0.25x^2(x+4)}{x+4}$$.
   • При $$x
     eq -4$$ (что выполняется для $$x >= 0$$), мы можем сократить $$(x+4)$$.
   • Таким образом, для $$x \ge 0$$, функция упрощается до $$y = 0.25x^2$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0,0).
3. Анализ функции для $$x < 0$$:
   • $$y = \frac{-0.25x(x^2+4x)}{x+4} = \frac{-0.25x^2(x+4)}{x+4}$$.
   • При $$x
     eq -4$$, мы можем сократить $$(x+4)$$.
   • Таким образом, для $$x < 0$$ и $$x
     eq -4$$, функция принимает вид $$y = -0.25x^2$$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0,0).
   • Отдельно рассмотрим случай $$x = -4$$. Функция не определена в этой точке.
4. Построение графика:
   • Для $$x \ge 0$$, график — это правая половина параболы $$y = 0.25x^2$$.
   • Для $$x < 0$$, график — это левая половина параболы $$y = -0.25x^2$$, за исключением точки $$x = -4$$.
   • В точке $$x = -4$$, функция не определена, поэтому будет вертикальная асимптота.
   • Найдем значение функции в точке, близкой к -4, например, при $$x = -3.9$$ (используя $$y = -0.25x^2$$):

     \[ y = -0.25(-3.9)^2 \approx -0.25(15.21) \approx -3.8025 \]

   • При $$x$$, стремящемся к $$-4$$ слева, $$y$$ стремится к $$-\infty$$.
   • При $$x$$, стремящемся к $$-4$$ справа, $$y$$ стремится к $$-\infty$$.
5. Определение значений $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком:
   • График функции состоит из двух частей параболы, сливающихся в точке (0,0).
   • Правая часть ($$x \ge 0$$): $$y = 0.25x^2$$. Минимальное значение $$y=0$$ при $$x=0$$. Значения $$y$$ возрастают до $$+\infty$$.
   • Левая часть ($$x < 0, x
     eq -4$$): $$y = -0.25x^2$$. Максимальное значение $$y=0$$ при $$x=0$$. Значения $$y$$ убывают до $$-\infty$$ (кроме области около $$x=-4$$).
   • Учитывая, что функция не определена при $$x=-4$$, но стремится к $$-\infty$$ при приближении к этой точке, эта часть графика уходит вниз.
   • Следовательно, все значения $$y$$, кроме $$y=0$$, достигаются.
   • Прямая $$y=m$$ не будет иметь общих точек с графиком, если $$m$$ не входит в диапазон значений функции.
   • Диапазон значений функции: $$y \in (-\infty, \infty)$$, кроме значений, которые не достигаются.
   • Давайте проверим значение функции в точке $$x = -4$$, хотя она и не определена. Если бы мы подставили $$x=-4$$ в $$y = -0.25x^2$$, получили бы $$y = -0.25(-4)^2 = -0.25(16) = -4$$.
   • Однако, из-за того, что $$(x+4)$$ сокращается, это не точка графика.
   • График функции $$y = 0.25x^2$$ для $$x >= 0$$ покрывает $$[0, °\infty)$$.
   • График функции $$y = -0.25x^2$$ для $$x < 0$$ и $$x
     eq -4$$ покрывает $$(-\infty, 0)$$.
   • Таким образом, функция принимает все значения, кроме значений, которые она бы приняла в точке разрыва $$x=-4$$, если бы она была определена там.
   • Если бы функция была определена в $$x=-4$$, то $$y = -0.25(-4)^2 = -4$$.
   • Поскольку $$x=-4$$ является точкой разрыва, значение $$y=-4$$ не достигается.

График функции:

Анализ графика:

• График состоит из двух частей парабол: $$y=0.25x^2$$ для $$x >= 0$$ и $$y=-0.25x^2$$ для $$x < 0$$.
• Обе части проходят через начало координат (0,0).
• Функция имеет разрыв в точке $$x=-4$$. При приближении к $$x=-4$$ (с обеих сторон), значение $$y$$ стремится к $$-\infty$$.
• Диапазон значений функции для $$x >= 0$$ — $$[0, \infty)$$.
• Диапазон значений функции для $$x < 0$$ (исключая $$x=-4$$) — $$(-\infty, 0)$$.
• Значение $$y=-4$$ не достигается, так как именно там находилась бы точка графика, если бы функция была определена в $$x=-4$$.
• Прямая $$y=m$$ не будет иметь общих точек с графиком, если $$m$$ находится вне диапазона значений функции.
• Диапазон значений функции: $$(-\infty, 0) \cup [0, \infty) = (-\infty, \infty)$$.
• Однако, из-за того, что при $$x=-4$$ есть разрыв, и значение, которое было бы $$-4$$ при подстановке в $$y=-0.25x^2$$, не достигается.
• Таким образом, значение $$m = -4$$ является тем значением, для которого прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком.

Ответ: $$m = -4$$