Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 65° и 85°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 14.

Решение:

1. Найдем угол А треугольника ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

   \[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 65° - 85° = 180° - 150° = 30° \]

2. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (2R).

   \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

3. Где $$a$$ — сторона BC, $$b$$ — сторона AC, $$c$$ — сторона AB.
4. Нам нужно найти сторону BC (обозначим ее как $$a$$), зная противолежащий угол A и радиус описанной окружности $$R = 14$$.
5. Используем формулу:

   \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \]

6. Подставим известные значения:

   \[ \frac{BC}{\sin 30°} = 2 \cdot 14 \]

7. Значение $$\sin 30° = 0.5$$.

8. \[ \frac{BC}{0.5} = 28 \]

9. Выразим BC:

   \[ BC = 28 \cdot 0.5 = 14 \]

Ответ: 14